Y hoy: La interpretación gráfica de la derivada
Esto es lo que una vez supiste y luego se te olvidó. Ocurrió cuando tuviste que memorizar un montón de formulines para aprobar el examen. Eras las derivadas precocinadas de un montón de funciones. Aprobaste el examen y al día siguiente te olvidaste de los formulines. Luego el mal trago hizo que olvidaras lo bonito que es el concepto de la derivada.
Pues es esto:
El eje de coordenadas y la curva las he dibujado con el color negro.
Definimos la curva como y = f(x).
Luego hemos definido dos punto bastante próximos de la curva: M0 y M1. Se han pintado en verde. Si las coordenadas de M0 son (x,y), las de M1 son (x + delta x, y + delta y)
La recta que corta la curva en dos puntos se llama secante (secante viene del latín secare que es cortar). La he pintado de azul.
Por último, con color amarillo he dibujado la tangente de la curva en el punto M0.
Si delta x tiende a cero, el punto M1 se va aproximando al punto M0 siguiendo la curva definida por la función.
La secante también cambiará modificando el ángulo que forma con el eje X.
La tangente del ángulo de la secante es igual a delta y / delta x.
A medida que la variación de x tienda a cero, la tangente del ángulo de la secante se va aproximando a la tangente de la curva en el punto M0.
Pues este tipo de gráficas es el que trató Fermat al estudiar máximos y mínimos de funciones. Lógicamente en esos puntos (máximos y mínimos) la tangente del punto es igual a cero. O sea, la derivada de la función en el punto es cero. Por eso Laplace le daba la autoría del descubrimiento a Fermat (¡por su trabajo publicado en 1629!), 120 años antes de nacer Laplace.
Se conoce que el método de las tangentes es el que utilizó Newton para definir la derivada. Aquel trabajo fue entregado a su profesor sobre 1669.
Saludos.
1 comentario:
Me interesa el uso de la derivada de la transformada de Fourier para hacer un sistema de reconocimiento de voz en castellano, en pocas palabras: en Castellano tenemos silabas (nuestra unidad basica), el final de una silaba y el comienzo de la siguiente se encuentra entre dos vocales. Aplicando ventanas variables entre dos vocales contiguas para recalcular la transformada de Fourier y derivarla podriamos en teoria silabear, para estudiar silabas en lugar de palabras.
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