Fibonacci y la razón aurea

La serie que hemos calculado, denominada serie de Fibonacci, cumple algunas propiedades
curiosas. La más llamativa de todas es la conexión con la razón aurea.

Esta razón se menciona en el libro VI de Los Elementos de Euclides. La podemos intuir cuando
intentamos dividir un segmento en 2 partes que guarden cierto equilibrio, pero sin que el corte
sea por el medio del segmento.


_______________I_________________________


¿Qué tiene de especial este corte? ¿Cual es la proporción que esconde? ¿Qué tiene que ver
con la serie de Fibonacci?

Símplemente el trozo largo respecto al trozo corto guarda la misma proporción que el segmento
entero respecto al trozo largo.


<------ 1 ----------> <---------- X -------------------->
_______________I_________________________

<-------------------- X+1 ------------------------------>


Algebraicamente:

(X+1) / X = X / 1
Por lo tanto:
(X+1) = X^2

X^2 - X -1 = 0
(X cuadrado - X -1 igual a 0)

Resolviendo esta ecuación de segundo grado obtenemos:

X = (1+SQRT(5))/2
(X es igual a (1 + raiz de 5) entre 2)

O sea que X = 1,6180339887498948482045868343656...

Hagamos el programa que además de la serie de Fibonacci, nos muestre la razón entre 2
elementos consecutivos de la serie:

     program Fibonacci;
     uses crt;
     var numActual, numAnterior, numComodin, limite:longint;
     begin   
          clrscr;
          writeln('Serie de Fibonacci');   
          write('Introduce el l¡mite: ');   
          readln(limite);   
          writeln;   
          writeln;   
          numActual:=1;   
          numAnterior:=0;   
          repeat         
               write(numActual);         
               write(' -> ');         
               if numAnterior <> 0 then            
                    writeln(numActual/numAnterior)         
               else writeln('X');         
               numComodin:=numActual;         
               numActual:=numAnterior+numActual;         
               numAnterior:=numComodin;   
          until numAnterior > limite;   
          readln
     end.

Sorprendente, ¿verdad?